Теория вероятностей

Задача 1. В одной из коробок 4 белых и 8 черных шариков, в другой - 3 белых и 12 черных. Из каждой коробки извлекается шарик. Какова вероятность того, что шарики, вынутые из коробок, разноцветные?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 4. В одной из коробок 6 белых и 4 черных шарика, в другой - 8 белых и два черных. Из кажой коробки наугад извлекается шарик. Какова вероятность, что они оба черные?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 5. Студент выучил 5 из 10 вопросов по первому разделу курса и 8 из 12  вопросов – по второму. В билете содержится по одному вопросу из каждого раздела. Какова вероятность получения зачёта для этого  студента, если зачёт ставится при условии, что на оба вопроса дан правильный ответ?

 

Задача 7. В одном из ящиков лежат 6 исправных и 2 неисправные детали, в другом, соответтвенно 8 и 4. Из каждого ящика наугад берут одну деталь. Какова вероятность того, что только одна из них окажется исправной?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 8. В одной из коробок 5 белых и 10 чёрных шариков, в другой – 3 белых и 9 чёрных. Из каждой коробки наугад извлекается шарик. Какова вероятность того, что хотя бы один из них белый?

Задача 10. Проводятся две лотереи. В одной лотерее 5 выигрышных билетов из 20, в другой -25 билетов, среди которых 10 выигрышных. Какова вероятность того, что имея по одному билету из каждой лотерей, ничего не выиграешь?

Задача 11. В команде 2 стрелка имеют первый разряд, 3 - второй и 5 - третий. Вероятности попадания в цель для стрелков первого, второго и третьего разрядов равны, соответственно, 0,9, 0,8 и 0,7. Наугад выбранный спортсмен производит выстрел. Какова вероятность того, что он попадет в цель?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 14. Вероятность попадания в цель из обычной винтовки равна 0,8, из снайперсой - 0,9. Имеется 7 обычных и 3 снайперских винтовки. Какова вероятность попадания, если винтовка выбирается случайным образом?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 15. Вероятность попадания в  цель при первом  выстреле - 0,7.  Вероятность попадания в цель при втором выстреле зависит от результата первого выстрела. Если первый выстрел был удачен, вероятность  попадания при втором выстреле увеличивается и становится равной 0,9. Если же при первом выстреле имел место промах, вероятность попадания при втором выстреле становится равной 0,5. Какова вероятность  попадания при втором выстреле?

Задача 17. В первом ящике 3 черных и 5 белых шариков, во втором, соответственно, 4 и 7. Из каждого ящика случайным образом один шарик перекладывается в первый. Далее из первого ящика наугад извлекается один шарик. Какова вероятность того, что он черный?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 18. Имеется 10 одинаковых коробочек с разноцветными шариками. В половине коробочек шарики жёлтые, в двух –зелёные, в остальных количество зелёных в два раза больше, чем жёлтых. Из наугад  выбранной коробочки извлекается шарик. Какова вероятность того, что он жёлтый?

Задача 20. Имеется 10 шариков, 4 белых и 6 чёрных. Если первый выбранный наугад шарик оказывается белым, то половина чёрных шариков убирается, если же первым вытащен чёрный, то убирается половина белых. Какова вероятность того, что шарик, вытащенный вторым, чёрный?

Задача 21. Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что тройка выпадет дважды?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 24. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность двух промахов при шести выстрелах?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 25. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность того, что орёл и решка  выпадут поровну.

Задача 27. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность только одного попадания при трех выстрелах?

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 28. Игральную кость бросают 6 раз. Какова вероятность того, что дважды выпадет число очков, делящееся на три?

Задача 30. Игральную кость бросают 6 раз. Какова вероятность того, что нечётное число очков выпадет в два раза чаще, чем чётное?

Задача 31. Дискретная величина задана своим законом распределения. Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график ее функции распределения. 

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 34. Дискретная величина задана своим законом распределения. Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график ее функции распределения. 

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 35. Дискретная величина задана своим законом распределения. Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график ее функции распределения. 

Задача 37. Дискретная величина задана своим законом распределения. Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график ее функции распределения. 

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 38. Дискретная величина задана своим законом распределения. Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график ее функции распределения. 


 

Задача 40. Дискретная случайная величина задана своим законом распределения. Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение данной случайной величины. Построить график её график функции распределения.

Задача 41. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Построить графики функции и плотности распределения.

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 44. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Построить графики функции и плотности распределения.

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 45. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить графики функции и плотности распределения.

Задача 47. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Построить графики функции и плотности распределения.

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 48. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить графики функции и плотности распределения.

Задача 50. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины. Построить графики функции и плотности распределения.

Задача 51. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (α, β).
а=42, σ = 12, α = 36, β = 54.

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 54. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (α, β).
а=15, σ = 6, α = 6, β = 18.

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 55. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением σ. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (α;β).

a=40; σ=10; α=35; β=55
 

Задача 57. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (α, β).
а=17, σ = 3, α = 14, β = 23.

Работа выполнена в рукописи.
Решение присылаем в отсканированном виде, в формате PDF.

Задача 58. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением σ. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (α;β).

a=9; σ=2; α=11; β=14
 

Задача 60. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением σ. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (α;β).

a=37; σ=7; α=30; β=44
 

Задача 63. Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Вычислить коэффициент корреляции и написать линейное корреляционное уравнение. Являются ли случайные величины X и  Y  независимыми?

Задача 64. Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Вычислить коэффициент корреляции и написать линейное корреляционное уравнение. Являются ли случайные величины X и  Y  независимыми?

Задача 65. Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Вычислить коэффициент корреляции и написать линейное корреляционное уравнение. Являются ли случайные величины X и  Y  независимыми?

Задача 66. Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Вычислить коэффициент корреляции и написать линейное корреляционное уравнение. Являются ли случайные величины X и  Y  независимыми?

Задача 67. Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Вычислить коэффициент корреляции и написать линейное корреляционное уравнение. Являются ли случайные величины X и  Y  независимыми?

Задача 68. Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Вычислить коэффициент корреляции и написать линейное корреляционное уравнение. Являются ли случайные величины X и  Y  независимыми?

Задача 70. Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Вычислить коэффициент корреляции и написать линейное корреляционное уравнение. Являются ли случайные величины и независимыми?

Задача 73. Дан статистический ряд. Найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Вычислить выравнивающие частоты, выдвинув предварительно гипотезу, состоящую в том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим и средним квадратичным отклонением, равными, соответственно, их статистическим оценкам X и σ. Построить многоугольник частот и выравнивающую кривую.
Вычислить X_набл². выбрав уровень значимости α=0,05, по таблицам найти X_кр². Сравнивая X_набл² с X_кр², принять или отвергнуть гипотезу.

Задача 74. Дан статистический ряд. Найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Вычислить выравнивающие частоты, выдвинув предварительно гипотезу, состоящую в том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим и средним квадратичным отклонением, равными, соответственно, их статистическим оценкам X и σ. Построить многоугольник частот и выравнивающую кривую.
Вычислить X_набл². выбрав уровень значимости α=0,05, по таблицам найти X_кр². Сравнивая X_набл² с X_кр², принять или отвергнуть гипотезу.

Задача 75. Дан статистический ряд. Найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Вычислить выравнивающие частоты, выдвинув предварительно гипотезу, состоящую в том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим и средним квадратичным отклонением, равными, соответственно, их статистическим оценкам X и σ. Построить многоугольник частот и выравнивающую кривую.
Вычислить X_набл². выбрав уровень значимости α=0,05, по таблицам найти X_кр². Сравнивая X_набл² с X_кр², принять или отвергнуть гипотезу.

Задача 76. Дан статистический ряд. Найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Вычислить выравнивающие частоты, выдвинув предварительно гипотезу, состоящую в том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим и средним квадратичным отклонением, равными, соответственно, их статистическим оценкам X и σ. Построить многоугольник частот и выравнивающую кривую.
Вычислить X_набл². выбрав уровень значимости α=0,05, по таблицам найти X_кр². Сравнивая X_набл² с X_кр², принять или отвергнуть гипотезу.

Задача 77. Дан статистический ряд. Найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Вычислить выравнивающие частоты, выдвинув предварительно гипотезу, состоящую в том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим и средним квадратичным отклонением, равными, соответственно, их статистическим оценкам X и σ. Построить многоугольник частот и выравнивающую кривую.
Вычислить X_набл². выбрав уровень значимости α=0,05, по таблицам найти X_кр². Сравнивая X_набл² с X_кр², принять или отвергнуть гипотезу.

Задача 78. Дан статистический ряд. Найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Вычислить выравнивающие частоты, выдвинув предварительно гипотезу, состоящую в том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим и средним квадратичным отклонением, равными, соответственно, их статистическим оценкам X и σ. Построить многоугольник частот и выравнивающую кривую.
Вычислить X_набл². выбрав уровень значимости α=0,05, по таблицам найти X_кр². Сравнивая X_набл² с X_кр², принять или отвергнуть гипотезу.

Задача 80. Дан статистический ряд. Найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
Вычислить выравнивающие частоты, выдвинув предварительно гипотезу, состоящую в том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим и средним квадратичным отклонением, равными, соответственно, их статистическим оценкам X и σ. Построить многоугольник частот и выравнивающую кривую.
Вычислить X_набл². выбрав уровень значимости α=0,05, по таблицам найти X_кр². Сравнивая X_набл² с X_кр², принять или отвергнуть гипотезу.

Задача 83. Выравнивание статистического ряда проводилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено X_набл².
Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение X_кр², если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратичного отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) X и σ. При помощи критерия Пирсона примите решение о принятии или отвержении гипотезы.

k=11, α=0,01, X_набл²=21,3.

Задача 84. Выравнивание статистического ряда проводилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено X_набл².
Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение X_кр², если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратичного отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) X и σ. При помощи критерия Пирсона примите решение о принятии или отвержении гипотезы.

k=10, α=0,05, X_набл²=15,3.

Задача 85. Выравнивание статистического ряда проводилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено X_набл².
Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение X_кр², если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратичного отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) X и σ. При помощи критерия Пирсона примите решение о принятии или отвержении гипотезы.

k=13, α=0,05, X_набл²=19,1.

Задача 86. Выравнивание статистического ряда проводилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено X_набл².
Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение X_кр², если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратичного отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) X и σ. При помощи критерия Пирсона примите решение о принятии или отвержении гипотезы.

k=12, α=0,01, X_набл²=22,5.

Задача 87.Выравнивание статистического ряда проводилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено X_набл².
Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение X_кр², если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратичного отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) X и σ. При помощи критерия Пирсона примите решение о принятии или отвержении гипотезы.

k=11, α=0,05, X_набл²=17,3.

Задача 88. Выравнивание статистического ряда проводилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено X_набл².
Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение X_кр², если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратичного отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) X и σ. При помощи критерия Пирсона примите решение о принятии или отвержении гипотезы.

k=10, α=0,01, X_набл²=20,5.

Задача 90. Выравнивание статистического ряда проводилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено X_набл².
Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение X_кр², если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратичного отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) X и σ. При помощи критерия Пирсона примите решение о принятии или отвержении гипотезы.

k=10, α=0,025, X_набл²=18,2.